Плитка Пенроуза: Математическое чудо, которое нарушает повторение. Узнайте, как апериодические узоры революционизируют геометрию и вдохновляют искусство, науку и не только.

• Введение в плитку Пенроуза
• Исторические корни и открытие
• Математические основы апериодичности
• Типы плиток Пенроуза и их свойства
• Правила укладки и методы строительства
• Симметрия, квазипериодичность и локальный изоморфизм
• Плитка Пенроуза в кристаллографии и физике
• Применения в искусстве, архитектуре и дизайне
• Вычислительные подходы и визуализация
• Открытые вопросы и будущие направления
• Источники и ссылки

Введение в плитку Пенроуза

Плитка Пенроуза — это увлекательная и влиятельная концепция в области математики, особенно в исследовании апериодических плиток и математической симметрии. Названная в честь британского математика и физика сэра Роджера Пенроуза, который впервые исследовал эти узоры в 1970-х годах, плитки Пенроуза представляют собой неповторяющиеся узоры, которые покрывают бесконечную плоскость без пробелов или наложений. В отличие от традиционных периодических плиток, таких как те, что используются в стандартных напольных покрытиях, плитки Пенроуза демонстрируют форму порядка, которая никогда не повторяется точно, но обладает замечательной степенью локальной симметрии и эстетической привлекательности.

Наиболее известные плитки Пенроуза состоят из двух простых форм, часто называемых «воздушными змеями» и «стрелами» или как «толстые» и «тонкие» ромбы. Эти формы располагаются согласно определенным правилам сопоставления, которые предотвращают образование периодических шаблонов. Полученные плитки демонстрируют симметрию с пятиразовым вращением, что запрещено в обычных периодических кристаллах согласно классической кристаллографии. Эта уникальная особенность сделала плитки Пенроуза предметом интенсивного изучения как в математике, так и в материаловедении.

Плитки Пенроуза имеют глубокие последствия за пределами чистой математики. Их открытие предоставило математическую модель для понимания квазикристаллов — материалов, которые демонстрируют форму порядка, подобную плиткам Пенроуза, но лишены трансляционной периодичности. Изучение квазикристаллов было удостоено Нобелевской премии по химии в 2011 году, подчеркивая реальную значимость этих математических конструкций. Международный союз кристаллографии, ведущий авторитет в этой области, признает роль плиток Пенроуза в расширении определения кристаллических структур и симметрии.

Помимо научной важности, плитки Пенроуза вдохновили художников, архитекторов и дизайнеров благодаря своей замысловатой красоте и сложности. Взаимодействие между математикой и искусством очевидно в использовании узоров Пенроуза в декоративных мотивах, настилах и даже общественных инсталляциях. Американское математическое общество, выдающаяся организация, посвященная продвижению математических исследований и учебы, часто включает плитки Пенроуза в образовательные материалы и выставки, чтобы проиллюстрировать богатство математического творчества.

В целом, плитка Пенроуза является замечательным примером того, как абстрактные математические идеи могут влиять на различные области, от теоретических исследований до практических приложений в науке и искусстве. Ее изучение продолжает открывать новые идеи о природе порядка, симметрии и бесконечных возможностях математических узоров.

Исторические корни и открытие

Исторические корни и открытие плитки Пенроуза восходят к началу 1970-х годов, когда британский математический физик сэр Роджер Пенроуз представил новый класс непериодических плиток. Пенроуз, профессор Оксфордского университета и выдающаяся фигура в области математической физики, был мотивирован вызовом покрыть плоскость формами, которые никогда не повторяются в регулярной, периодической манере. Его работа строилась на более ранних исследованиях апериодических плиток, в частности, тех, что проводил математик Хао Ван и его студент Роберт Бергер в 1960-х годах, которые продемонстрировали существование наборов плиток, которые могли укладывать плоскость только непериодически.

Прорыв Пенроуза произошел в 1974 году, когда он открыл, что набор всего из двух простых форм — ныне известных как «воздушные змеи» и «стрелы» — может укладывать плоскость таким образом, что это не повторяется, но покрывает всю поверхность без пробелов или наложений. Это было значительным упрощением по сравнению с оригинальным набором Бергера, который требовал более 20 000 различных плиток. Позже Пенроуз представил еще одну пару плиток — «толстый» и «тонкий» ромбы, которые также создают непериодические плитки с пятиразовой симметрией, что запрещено в традиционной кристаллографии.

Открытие плитки Пенроуза имело глубокие последствия за пределами математики. В 1982 году физик Дэн Шехтман наблюдал аналогичную пятиразовую симметрию в атомной структуре определенных сплавов, что привело к идентификации квазикристаллов — материалов, чье атомное размещение отражает непериодический порядок плитки Пенроуза. Эта находка оспорила долгое убеждение о том, что кристаллы могут демонстрировать только периодический порядок, и в конечном итоге принесла Шехтману Нобелевскую премию по химии в 2011 году. Международный союз кристаллографии, глобальный авторитет в области кристаллографических стандартов, признал важность этого открытия в переопределении концепции кристаллической структуры (Международный союз кристаллографии).

Сегодня плитка Пенроуза является не только объектом математического интереса, но и вдохновляет исследования в физике, материаловедении и искусстве. Ее открытие ознаменовало важный момент в изучении а périодического порядка, демонстрируя, что математическая абстракция может привести к реальным явлениям и новым научным парадигмам.

Математические основы апериодичности

Плитка Пенроуза представляет собой замечательный пример апериодической плитки, концепции, которая оспаривает традиционное понимание порядка и симметрии в математике. В отличие от периодических плиток, которые регулярно повторяются по плоскости, апериодические плитки, такие как те, что были открыты сэром Роджером Пенроузом в 1970-х годах, никогда не повторяются точно, независимо от того, насколько далеко они протянуты. Математическая основа плитки Пенроуза заключается в использовании конечного набора прототипов плиток — наиболее известных «воздушная змея» и «стрела» или «толстый» и «тонкий» ромбы — которые могут покрыть бесконечную плоскость, не создавая повторяющегося узора.

Апериодичность плитки Пенроуза укоренена в концепции локальных правил сопоставления. Эти правила определяют, как плитки могут размещаться рядом друг с другом, обеспечивая, что возможны только непериодические размещения. Например, правила сопоставления для плиток «воздушной змеи» и «стрелы» включают маркировки или выемки, которые должны совпадать, предотвращая образование периодических узоров. Эта особенность была строго доказана, демонстрируя, что любая укладка с использованием этих правил обязательно является неповторяющейся и непериодической. Математическое изучение таких плиток имеет глубокие связи с теорией квазикристаллов, некомутационной геометрией и более широкой областью теории плиток.

Ключевой математической особенностью плиток Пенроуза является их пятиразовая симметрия, что запрещено в традиционных периодических плитках плоскости из-за кристаллографических ограничений. Эта симметрия достигается через тщательное проектирование прототипов плиток и их правил сопоставления, приводя к узорам, которые демонстрируют локальный порядок и глобальное неповторение. Свойства увеличения и уменьшения плиток Пенроуза — когда плитки могут группироваться и заменяться большей или меньшей версией самих себя — демонстрируют их самоподобную, фрактальную структуру. Эта самоподобность является отличительной чертой апериодического порядка и была активно изучена в математической литературе.

Открытие и математический анализ плиток Пенроуза имели значительные последствия за пределами чистой математики. Они предоставили первый явный пример набора плиток, который заставляет апериодичность, отвечая на давние вопросы в этой области. Более того, изучение плиток Пенроуза оказало влияние на понимание квазикристаллов, новой формы материи, открытой в 1980-х годах, которые демонстрируют аналогичный апериодический порядок на атомном уровне. Математические принципы, лежащие в основе плитки Пенроуза, продолжают вдохновлять исследования в геометрии, физике и материаловедении, что признают такие учреждения, как Американское математическое общество и Институт математики и ее приложений.

Типы плиток Пенроуза и их свойства

Плитка Пенроуза — это непериодическая укладка, генерируемая апериодическим набором прототипов плиток, названная в честь британского математика и физика сэра Роджера Пенроуза. Наиболее известные плитки Пенроуза используют две разные формы, или плитки, которые могут покрыть плоскость без повторения узоров на регулярных интервалах. Эти плитки прославлены своей математической красотой, связью с квазикристаллами и их уникальными свойствами симметрии. Существует несколько типов плиток Пенроуза, каждая из которых обладает специфическими геометрическими свойствами и правилами сопоставления, которые устанавливают непериодичность.

Два наиболее известных типа плиток Пенроуза — это наборы «воздушных змеев и стрел» и «ромбов» (или «P2» и «P3»). Плитки «воздушной змеи» и «стрелы» — это четырехугольники: «воздушная змея» — это выпуклый четырехугольник, в то время как «стрела» — это вогнутый четырехугольник. Обе формы происходят из геометрии правильного пятиугольника и связаны отражением. Правила сопоставления для этих плиток, часто обозначаемые цветными дугами или отметками, обеспечивают возможность только непериодических укладок. Углы «воздушной змеи» и «стрелы» основаны на кратных 36° и 72°, что отражает пятиразовую симметрию, присущую плиткам Пенроуза.

Набор ромбов состоит из двух ромбов: «толстого» ромба с углами 72° и 108°, и «тонкого» ромба с углами 36° и 144°. Как и «воздушная змея», так и «стрела», эти ромбы размещаются согласно специфическим правилам сопоставления, которые часто реализуются как цветные или декорированные края, чтобы предотвратить периодическую укладку. Укладка ромбов особенно примечательна своей прямой связью с золотым сечением (φ), так как отношение длин диагоналей ромбов равно φ, и укладка демонстрирует локальную симметрию с пятиразовым вращением.

Другие менее распространенные наборы плиток Пенроуза включают плитки «пятиугольника» и «звезды», которые более сложны и реже используются в практических приложениях. Все плитки Пенроуза обладают свойством быть непериодическими, что означает, что их узоры никогда не повторяются точно, независимо от того, насколько далеко укладка простирается. Однако они не случайны; они демонстрируют дальнодействующий порядок и локальные симметрии, такие как пятимерная или десятимерная симметрия вращения, что запрещено в традиционных периодических плитках. Эта уникальная комбинация порядка и апериодичности сделала плитки Пенроуза объектом интереса в математике, физике и материаловедении, особенно в изучении квазикристаллов, что признают такие организации, как Американское математическое общество и Международный союз кристаллографии.

Правила укладки и методы строительства

Плитка Пенроуза — это непериодическая укладка, генерируемая набором прототипов плиток, которые покрывают плоскость без повторяющихся узоров. Наиболее распространенные плитки Пенроуза используют две формы: «воздушную змею» и «стрелу» или, альтернативно, два типа ромбов — обычно называемых «толстыми» и «тонкими» ромбами. Укладка названа в честь сэра Роджера Пенроуза, который открыл эти апериодические наборы в 1970-х годах. Правила и методы для построения плиток Пенроуза являются центральными для их математических и эстетических свойств.

Основные правила укладки плитки Пенроуза основаны на локальных ограничениях сопоставления. Каждая грань плитки отмечена или окрашена, и плитки могут размещаться рядом друг с другом только в том случае, если их отметки совпадают. Это накладывает глобальную апериодичность, обеспечивая, что укладка никогда не повторяется регулярно. Например, в укладке «воздушная змея» и «стрела» плитки украшены дугами или выемками, и только плитки с совпадающими украшениями можно соединять. Эти правила сопоставления являются необходимыми для предотвращения образования периодических узоров и обеспечения уникальной неповторяющейся структуры, характерной для плиток Пенроуза.

Существует несколько методов укладки плиток Пенроуза:

• Замена (Увеличение/Уменьшение): Этот метод включает замену каждой плитки группой меньших плиток в соответствии с определенными правилами. При повторном применении этих правил возникает сложный, непериодический узор. Этот рекурсивный процесс математически элегантен и подчеркивает самоподобную, фрактальную природу плиток Пенроуза.
• Правила сопоставления: Как было упомянуто, плитки размещаются так, чтобы только грани с совпадающими украшениями были рядом. Это можно сделать вручную или алгоритмически, гарантируя, что укладка остается апериодической.
• Метод нарезки и проекции: Этот подход строит плитки Пенроуза, проецируя периодическую решетку высшего измерения (обычно пятимерную) на двумерную плоскость. Полученная проекция дает непериодическую укладку с теми же локальными правилами, что и оригинальная плитка Пенроуза. Этот метод особенно важен в изучении квазикристаллов, так как он предоставляет прямую связь между плитками Пенроуза и атомной структурой определенных материалов.

Плитки Пенроуза были обширно изучены в математике и физике, особенно в контексте апериодического порядка и квазикристаллов. Американское математическое общество и Институт математики и ее приложений являются среди организаций, которые публиковали исследования и образовательные ресурсы о математических свойствах и методах построения плиток Пенроуза. Эти плитки продолжают вдохновлять исследования в геометрии, материаловедении и искусстве благодаря их уникальному сочетанию порядка и неповторимости.

Симметрия, квазипериодичность и локальный изоморфизм

Плитка Пенроуза является ярким примером того, как математические концепции могут оспаривать и расширять наше понимание симметрии и порядка. В отличие от традиционных периодических плиток, таких как те, что встречаются в регулярных тесселяциях квадратов или шестигранников, плитки Пенроуза являются квазипериодическими. Это означает, что они заполняют плоскость, не повторяясь с регулярными интервалами, но демонстрируют форму порядка, которая не является случайной и не является строго периодической. Открытие плитки Пенроуза математиком сэром Роджером Пенроузом в 1970-х годах ввело новую парадигму в исследование укладки и симметрии, с глубокими последствиями для математики, физики и материаловедения.

Ключевой особенностью плитки Пенроуза является ее пятиразовая симметрия вращения, которая запрещена в периодических кристаллах согласно классической кристаллографии. В плитках Пенроуза эта симметрия проявляется глобально, хотя ни один конечный участок укладки не повторяется периодически. Плитки — обычно воздушные змеи и стрелы или ромбы — располагаются согласно определенным правилам сопоставления, которые обеспечивают эту неповторяющуюся, но высокоорганизованную структуру. Эти правила гарантируют, что укладка непериодична, но также что любой конечный участок внутри укладки может быть найден бесконечно много раз в другом месте узора, хотя и в различных ориентациях или позициях.

Эта особенность приводит к концепции локального изоморфизма. В контексте плитки Пенроуза локальный изоморфизм означает, что для любого конечного участка плиток существует другой участок где-то в укладке, который ему соответствует. Таким образом, в то время как общий узор никогда не повторяется, его локальные конфигурации повторяются на протяжении всей укладки. Это определяющая характеристика квазипериодических структур и отличает их от периодических и случайных укладок.

Математическое изучение плиток Пенроуза повлияло на понимание квазикристаллов — материалов, которые показывают дифракционные узоры с резкими пиками и симметриями, запрещенными в периодических кристаллах, такими как пятиразовая симметрия. Открытие квазикристаллов в 1980-х годах, которое принесло Дану Шехтману Нобелевскую премию по химии, обеспечило физические доказательства существования квазипериодического порядка в природе, подтвердив математические идеи, предоставленные плитками Пенроуза (Международный союз кристаллографии). Сегодня плитки Пенроуза продолжают вдохновлять исследования в области математики, физики и материаловедения, предлагая связь между абстрактной математической теорией и реальными явлениями.

Плитка Пенроуза в кристаллографии и физике

Плитка Пенроуза, непериодическая укладка, открытая математиком Роджером Пенроузом в 1970-х годах, оказала глубокое воздействие на области кристаллографии и физики. В отличие от традиционных периодических плиток, плитки Пенроуза используют набор форм — наиболее известные из которых два типа ромбов — которые могут покрыть плоскость без повторяющихся узоров. Эта апериодичность оспаривала давнее утверждение о том, что все кристаллы должны демонстрировать трансляционную симметрию, убеждение, которое доминировало в кристаллографии в течение десятилетий.

Значение плитки Пенроуза в кристаллографии стало особенно очевидным с открытием квазикристаллов в 1982 году Даном Шехтманом. Квазикристаллы — это твердые материалы, атомное размещение которых демонстрирует дальнодействующий порядок, но лишено периодичности, отражая математические свойства плиток Пенроуза. Дифракционные узоры квазикристаллов, показывающие резкие пики Брагга с симметриями, запрещенными в периодических кристаллах (такими как пятиразовая симметрия), предоставили экспериментальные доказательства того, что природа может реализовать структуры, аналогичные плиткам Пенроуза, на атомном уровне. Это открытие привело к парадигмальному сдвигу в определении кристаллов, побудив Международный союз кристаллографии пересмотреть свое определение, включая апериодические кристаллы.

В физике плитка Пенроуза стала модельной системой для изучения апериодического порядка и его последствий. Уникальное расположение плиток в укладке Пенроуза приводит к необычным физическим свойствам, таким как электронные состояния, которые не являются полностью локализованными и не являются полностью расширенными, и новым спектрам фононов. Эти свойства исследовались как в теоретических моделях, так и в экспериментальных системах, включая фотонные квазикристаллы и искусственные решетки. Изучение волнового распространения, электронного транспорта и магнетизма в материалах с структурой Пенроуза открыло новые явления, не присутствующие в периодических системах, предлагая понимание фундаментальной природы порядка и беспорядка в физике конденсированных сред.

• Американское физическое общество опубликовало множество исследований физических свойств квазикристаллов и плиток Пенроуза, подчеркивая их актуальность в современной физике.
• Международный союз кристаллографии продолжает поддерживать исследования апериодического порядка, включая математические основы и материальные реализации плиток Пенроуза.

В целом, плитка Пенроуза служит связующим звеном между математикой, кристаллографией и физикой, предоставляя основу для понимания апериодического порядка и вдохновляя открытие новых материалов с уникальными структурными и физическими свойствами.

Применения в искусстве, архитектуре и дизайне

Плитка Пенроуза, непериодический узор, открытый математиком и физиком сэром Роджером Пенроузом в 1970-х годах, оказала глубокое влияние на искусство, архитектуру и дизайн. Ее уникальные математические свойства — прежде всего, апериодичность и пятиразовая симметрия — вдохновили творцов на исследование новых визуальных языков и структурных возможностей.

В области искусства плитка Пенроуза была принята за ее эстетическую сложность и визуальную интригу. Художники, такие как М.К. Эшер, хотя и предшествовали официальному открытию Пенроуза, исследовали аналогичные квазипериодические узоры, а современные художники с тех пор включили плитки Пенроуза в картины, мозаики и цифровое искусство. Взаимодействие между порядком и кажущейся случайностью в плитке Пенроуза предлагает убедительную метафору для пересечения хаоса и структуры, что делает ее популярным мотивом в современном и абстрактном искусстве. Тейт, ведущее художественное учреждение, представило работы, вдохновленные математическими плитками, подчеркивая их культурное и художественное значение.

В архитектуре плитка Пенроуза была использована как для визуальной привлекательности, так и для структурных свойств. Неповторяющаяся природа узора позволяет создавать поверхности и фасады, которые являются как динамичными, так и гармоничными, избегая однообразия обычного повторения. Примечательно, что Оксфордский университет, где сэр Роджер Пенроуз является эмерит-профессором, имеет плитку Пенроуза на входе в здание Эндрю Уайлса, дом Математического института. Эта инсталляция не только отмечает математическую красоту, но и демонстрирует практическое применение сложных геометрических принципов в общественных пространствах. Использование плитки Пенроуза в архитектуре часто служит связующим звеном между математической теорией и осязаемым дизайном, вдохновляя архитекторов экспериментировать с неконвенциональными формами и планировками.

В дизайне плитка Пенроуза нашла применение в таких областях, как графический дизайн и разработка продуктов. Ее характерные узоры используются в текстиле, обоях и напольных покрытиях, предлагая уникальную альтернативу традиционным периодическим дизайнам. Математическая строгость, лежащая в основе плитки Пенроуза, обеспечивает, чтобы эти узоры были как визуально привлекательными, так и интеллектуально увлекательными. Дизайнеры привлекаются к задаче работы с системой, которая нарушает простое повторение, что приводит к созданию продукции, выделяющейся своей оригинальностью и сложностью. Организации, такие как Королевское химическое общество, подчеркнули связь между плиткой Пенроуза и открытием квазикристаллов, что еще больше подтверждает ее актуальность как в научной, так и в творческой областях.

В общем, плитка Пенроуза является ярким примером плодотворного диалога между математикой и визуальными искусствами, предлагая бесконечные возможности для инноваций в искусстве, архитектуре и дизайне.

Вычислительные подходы и визуализация

Вычислительные подходы сыграли ключевую роль в исследовании и визуализации плиток Пенроуза, которые являются апериодическими плитками, открытыми математиком Роджером Пенроузом в 1970-х годах. Эти плитки, характеризующиеся своими неповторяющимися узорами и локальной пятиразовой симметрией, представляют уникальные вызовы и возможности для компьютерного анализа и графического представления.

Один из основных вычислительных методов для генерации плиток Пенроуза — использование правил замены, где большие плитки рекурсивно подразделяются на меньшие согласно определенным геометрическим правилам. Этот рекурсивный процесс хорошо подходит для алгоритмической реализации, позволяя создавать произвольно большие и детализированные узоры укладки. Другой подход включает метод проекции, в котором периодическая решетка высшего измерения (обычно пятимерная) проецируется на двумерную плоскость, в результате чего получается апериодический узор Пенроуза. Этот метод использует линейную алгебру и вычислительную геометрию и был instrumental в связи плитки Пенроуза с изучением квазикристаллов в материаловедении.

Визуализация плиток Пенроуза значительно выиграла от достижений в области компьютерной графики. Современные программные инструменты могут рендерить сложные узоры укладки с высокой точностью, позволяя исследователям и художникам изучать их математические свойства и эстетические качества. Интерактивные платформы визуализации позволяют пользователям манипулировать параметрами, увеличивать интересующие области и наблюдать за появлением локальных симметрий и правил сопоставления. Эти инструменты ценны не только для математических исследований, но также для образовательных целей, помогая передать сложность и красоту апериодического порядка.

Вычислительное изучение плиток Пенроуза также способствовало пониманию их физических аналогов, таких как квазикристаллы. Открытие квазикристаллов, которые демонстрируют дифракционные узоры, аналогичные тем, что предсказаны плиткой Пенроуза, было отмечено Нобелевской премией по химии в 2011 году. Вычислительные модели плиток Пенроуза использовались для моделирования атомных размещений в этих материалах, предоставляя понимание их уникальных свойств и стабильности (Нобелевская премия).

Институты, такие как Американское математическое общество и Институт математики и ее приложений, поддерживали исследования и распространение вычислительных техник, связанных с плитками Пенроуза. Их ресурсы включают академические публикации, программное обеспечение для визуализации и образовательные материалы, которые облегчают дальнейшее изучение этой увлекательной стыковки математики, вычислений и искусства.

Открытые вопросы и будущие направления

Плитка Пенроуза, открытая математиком и физиком сэром Роджером Пенроузом в 1970-х годах, остается живой областью математических и физических исследований. Несмотря на десятилетия изучения, несколько открытых вопросов и многообещающие будущие направления продолжают направлять исследования в свойствах и применениях этих апериодических плиток.

Один из центральных открытых вопросов касается полной классификации апериодических наборов плиток. Хотя плитки Пенроуза являются наиболее известным примером, математики все еще исследуют, существуют ли другие принципиально различные наборы плиток, которые заставляют непериодичность на плоскости, и какие минимальные условия необходимы для набора, чтобы он был апериодическим. Этот вопрос тесно связан с более широкой математической областью теории плиток и символической динамики, которая исследует, как локальные правила могут обеспечить глобальный порядок или беспорядок.

Еще одной активной областью исследования является физическая реализация плиток Пенроуза в материаловедении. Открытие квазикристаллов в 1980-х годах, которые демонстрируют атомные размещения, аналогичные плиткам Пенроуза, вызвало интерес к пониманию того, как такие структуры могут возникать естественным образом и какие уникальные свойства они приносят. Открытые вопросы остаются относительно стабильности, механизмов роста и потенциальных технологических приложений квазикристаллических материалов, особенно в таких областях, как фотоника и нано-технология. Организации, такие как Американское физическое общество и Международный союз кристаллографии, поддерживают продолжающееся исследование этих материалов и их математических основ.

С вычислительной точки зрения алгоритмическая генерация и распознавание плиток Пенроуза представляют собой дальнейшие проблемы. Эффективные алгоритмы для генерации больших, неповторяющихся плиток Пенроуза, а также для обнаружения таких узоров в экспериментальных данных все еще совершенствуются. Эти вычислительные вопросы имеют последствия как для теоретической математики, так и для практических приложений, таких как дизайн новых материалов и анализ сложных узоров в природе.

Наконец, эстетические и философские последствия плиток Пенроуза продолжают вдохновлять исследования. Взаимодействие между локальными правилами и глобальной непериодичностью поднимает фундаментальные вопросы о природе порядка, симметрии и сложности. По мере продвижения исследований междисциплинарные коллаборации между математиками, физиками, материалами учеными и художниками, вероятно, приведут к новым идеям и приложениям, обеспечивая, что плитка Пенроуза останется богатой и развивающейся областью исследования.

Источники и ссылки

• Международный союз кристаллографии
• Американское математическое общество
• Оксфордский университет
• Институт математики и ее приложений
• Тейт
• Оксфордский университет
• Королевское химическое общество
• Нобелевская премия