Пенроузно плетене: Математическото чудо, което противоречи на повторението. Открийте как аепериодичните шаблони революционизират геометрията и вдъхновяват изкуство, наука и много други.

• Въведение в Пенроузното плетене
• Исторически произходи и откритие
• Математически основи на аепериодичност
• Типове Пенроузни плочки и техните свойства
• Правила за плетене и методи на строеж
• Симетрия, квази периодичност и локален изоморфизъм
• Пенроузно плетене в кристалографията и физиката
• Приложения в изкуството, архитектурата и дизайна
• Компютърни подходи и визуализация
• Отворени въпроси и бъдещи насоки
• Източници и референции

Въведение в Пенроузното плетене

Пенроузното плетене е завладяваща и влиятелна концепция в областта на математиката, особено в изучаването на аепериодичните плетения и математическата симетрия. Наравно на британския математик и физик сър Роджър Пенроуз, който за пръв път изследвал тези шаблони през 70-те години на XX век, Пенроузните плетения са неповтарящи се шаблони, които покриват безкрайна равнина без пропуски или припокривания. За разлика от традиционните периодични плетения, като тези, които можем да видим в редовните плочки на пода, Пенроузните плетения показват форма на ред, която никога не се повтаря точно, но притежават забележителна степен на локална симетрия и естетическа привлекателност.

Най-известните Пенроузни плетения са изградени от две прости форми, известни често като „златни рибки“ и „стрели“ или „дебели“ и „тънки“ ромбове. Тези форми са подредени в съответствие с конкретни правила за съвпадение, които предотвратяват образуването на периодични шаблони. Получените плетения показват петократна ротационна симетрия, свойство, което е забранено в конвенционалните периодични кристали според класическата кристалография. Тази уникална черта направи Пенроузните плетения предмет на интензивно изучаване както в математиката, така и в материалознанието.

Пенроузните плетения имат дълбоки последици отвъд чистата математика. Наравно на откритията си предлагат математически модел за разбиране на квази-кристалите — материали, които показват форма на ред, подобна на Пенроузните плетения, но нямат транслационна периодичност. Изследването на квази-кристалите беше признато с Нобеловата награда по химия за 2011 г., подчертавайки реалната значимост на тези математически конструкции. Международният съюз по кристалография, водеща инстанция в тази област, признава ролята на Пенроузните плетения в разширяването на определението за кристални структури и симетрия.

Освен научната им важност, Пенроузните плетения вдъхновяват художници, архитекти и дизайнери заради сложната си красота и комплексност. Взаимодействието между математика и изкуство е очевидно в използването на Пенроузни шаблони в декоративни мотиви, настилки и дори обществени инсталации. Американското математическо общество, видна организация, посветена на напредъка на математическите изследвания и изследвания, често представя Пенроузни плетения в образователни материали и експозиции, за да илюстрира богатството на математическото творчество.

Като цяло, Пенроузното плетене е забележителен пример за това как абстрактните математически идеи могат да влияят на разнообразни области — от теоретични изследвания до практическо приложение в науката и изкуството. Изследването му продължава да разкрива нови прозорци в природата на реда, симетрията и безкрайните възможности на математическите шаблони.

Исторически произходи и откритие

Историческите произходи и открития на Пенроузното плетене проследяват началото на 70-те години, когато британският математически физик сър Роджър Пенроуз въведе нов клас на непериодични плетения. Пенроуз, професор в Университет на Оксфорд и видна фигура в математическата физика, беше вдъхновен от предизвикателството да покрие равнина с форми, които никога не се повтарят по редовен, периодичен начин. Работата му се основаваше на предишни изследвания на аепериодични плетения, предимно тези на математика Хао Уанг и неговия студент Робърт Бергер през 60-те години, които демонстрираха съществуването на набори от плочки, които могат да покриват равнината само непериодично.

Пенроуз направи пробив през 1974 г., когато откри, че набор от само две прости форми — сега известни като „златни рибки“ и „стрели“ — може да покрие равнината таким чином, че да не се повтаря, но да покрива цялата повърхност без пропуски. Това беше значително опростяване в сравнение с оригиналния набор на Бергер, който изискваше над 20 000 различни плочки. По-късно Пенроуз представи друга двойка плочки, „дебел“ и „тънък“ ромб, които също произвеждат непериодични плетения с петократна ротационна симетрия, свойство, забранено в традиционната кристалография.

Откритията на Пенроузното плетене имаха дълбоки последици извън математиката. През 1982 г. физикът Дан Шехтман наблюдава сходна петократна симетрия в атомната структура на определени сплави, водеща до идентификацията на квази-кристали — материали, чиято атомна подредба отразява непериодичния ред на Пенроузните плетения. Това откритие предизвика дългогодишното убеждение, че кристалите могат да показват само периодичен ред и в крайна сметка занесе Шехтман Нобеловата награда по химия през 2011 г. Международният съюз по кристалография, глобалната инстанция за кристалографските стандарти, признава значението на това откритие за променяне на концепцията за кристална структура (Международен съюз по кристалография).

Днес Пенроузните плетения не са само предмет на математически интерес, но и вдъхновяват изследвания в областта на физиката, материалознанието и изкуствата. Откритията му отбелязват ключов момент в изучаването на аепериодичния ред, демонстрирайки, че математическата абстракция може да доведе до явления в реалния свят и нови научни парадигми.

Математически основи на аепериодичност

Пенроузното плетене представлява забележителен пример на аепериодично плетене, концепция, която оспорва традиционното разбиране за ред и симетрия в математиката. За разлика от периодичните плетения, които се повтарят редовно по равнината, аепериодичните плетения, каквито са откритите от сър Роджър Пенроуз през 70-те години, никога не се повтарят точно, независимо колко далеч се разширяват. Математическите основи на Пенроузното плетене лежат в използването на ограничен набор от прототипи — най-известните от които са „златни рибки“ и „стрели“ или „дебели“ и „тънки“ ромбове — които могат да покрият безкрайна равнина без да създават повтарящ се шаблон.

Аепериодичността на Пенроузното плетене е свързана с концепцията за локални правила за съвпадение. Тези правила определят как плочките могат да се поставят една до друга, гарантирайки, че само непериодични подредби са възможни. Например, правилата за съвпадение на плочките златна рибка и стрела включват маркировки или прорези, които трябва да се подредят, предотвратявайки образуването на периодични шаблони. Това свойство беше стриктно доказано, показвайки, че всяко плетене, използващо тези правила, е непременно неповтарящо се и непериодично. Математическото изследване на такива плетения има дълбоки връзки с теорията на квази-кристалите, некомутативната геометрия и по-широката област на математическата теория на плетенията.

Ключова математическа особеност на Пенроузните плетения е тяхната петократна ротационна симетрия, която е забранен в традиционните периодични плетения на равнината поради кристалографски ограничения. Тази симетрия се постига чрез внимателното проектиране на прототипите и техните правила за съвпадение, което води до шаблони, които показват локален ред и глобална неповторимост. Свойствата на инфлация и дефлация на Пенроузните плетения — където плочките могат да се групират и заменят с по-големи или по-малки версии на самите тях — демонстрират тяхната самоподобна, фрактална структура. Тази самоподобност е характерен белег на аепериодичния ред и е изследвана обстойно в математическата литература.

Откритията и математическата анализ на Пенроузните плетения имат значителни последствия извън чистата математика. Те предоставиха първия изричен пример на набор от плочки, които принуждават аепериодичност, отговаряйки на дългогодишни въпроси в областта. Освен това, изследването на Пенроузните плетения е повлияло на разбирането на квази-кристалите, нова форма на материя, открита през 80-те години, които показват подобен аепериодичен ред на атомно ниво. Математическите принципи, лежащи в основата на Пенроузното плетене, продължават да вдъхновяват изследвания в геометрията, физиката и материалознанието, както е признато от институции като Американското математическо общество и Института по математика и приложенията.

Типове Пенроузни плочки и техните свойства

Пенроузното плетене е непериодично плетене, генерирано от непериодичен набор от прототипи, наречено на британския математик и физик сър Роджър Пенроуз. Най-известните Пенроузни плетения използват две различни форми или плочки, които могат да покрият равнина без да повтарят шаблони на редовни интервали. Тези плетения се хвалят за своята математическа красота, връзката им с квази-кристалите и уникалните им свойства на симетрия. Има няколко типа Пенроузни плочки, всяка с конкретни геометрични свойства и правила за съвпадение, които принуждават непериодичност.

Двата най-значими вида Пенроузни плочки са комплектите „златна рибка и стрела“ и „ромб“ (или „P2“ и „P3“). Плочките златна рибка и стрела са четириъгълници: златната рибка е конвексен четириъгълник, докато стрелата е конкавен четириъгълник. И двете произлизат от геометрията на правилния петосеник и са свързани чрез отражение. Правилата за съвпадение на тези плочки, обикновено указвани с цветни дъги или маркировки, осигуряват само непериодични плетения. ъглите на златната рибка и стрелата са базирани на кратности на 36° и 72°, което отразява петократната симетрия, присъща за Пенроузните плетения.

Наборът от ромбове се състои от два ромба: „дебел“ ромб с ъгли 72° и 108°, и „тънък“ ромб с ъгли 36° и 144°. Както златната рибка, така и стрелата, тези ромбове са разположени според специфични правила за съвпадение, често реализирани като цветни или декорирани ръбове, за да се предотврати периодично плетене. Пенроузното плетене е особено забележително за директната си връзка с златното сечение (φ), тъй като отношението на дължините на диагоналите на ромбовете е φ, и плетението показва локална петократна ротационна симетрия.

Други по-малко разпространени комплекти Пенроузно плетене включват „петугълни“ и „звездни“ плочки, които са по-сложни и по-малко често използвани в практическите приложения. Всички Пенроузни плетения споделят свойството да бъдат непериодични, което означава, че техните шаблони никога не се повтарят точно, независимо колко далеч се разширява плетенето. Въпреки това, те не са случайни; те демонстрират дългосрочен ред и локални симетрии, като петократна или десетократна ротационна симетрия, които са забранени в традиционните периодични плетения. Тази уникална комбинация от ред и аепериодичност направи Пенроузните плетения обект на интерес в математиката, физиката и материалознанието, особено в изследването на квази-кристалите, както е признато от организации като Американското математическо общество и Международния съюз по кристалография.

Правила за плетене и методи на строеж

Пенроузното плетене е непериодично плетене, генерирано от набор от прототипи, които покриват равнината без да повтарят шаблони. Най-често срещаните Пенроузни плетения използват две форми: „златна рибка“ и „стрела,“ или алтернативно, два типа ромбове — обикновено наречени „дебели“ и „тънки“ ромбове. Плетенето е наименувано на сър Роджър Пенроуз, който откри тези аепериодични комплекти през 70-те години. Правилата и методите за изграждане на Пенроузни плетения са централни за техните математически и естетически свойства.

Основните правила за плетене на Пенроузни плетения се основават на локални ограничения за съвпадение. Всеки ръб на плочка е маркиран или оцветен, и плочките могат да бъдат поставени една до друга само ако техните маркировки съвпадат. Това налага глобална аепериодичност, гарантирайки, че плетенето никога не се повтаря редовно. Например, в Пенроузното плетене с златна рибка и стрела, плочките са украсени с дъги или прорези, и само плочки с съвпадащи декорации могат да се съединят. Тези правила за съвпадение са съществени, за да се предотврати образуването на периодични шаблони и да се гарантира уникалната не повтаряща се структура, характерна за Пенроузните плетения.

Има няколко метода на строеж за Пенроузни плетения:

• Субституция (Инфлация/Дефлация): Този метод включва замяна на всяка плочка с група по-малки плочки според конкретни правила. Чрез многократно прилагане на тези правила, нараства сложен, непериодичен шаблон. Този рекурсивен процес е математически елегантен и подчертава самоподобната, фрактална природа на Пенроузните плетения.
• Правила за съвпадение: Както споменахме, плочките се поставят така, че само ръбове с съвпадащи декорации да са съседни. Това може да се извърши ръчно или алгоритмично, осигурявайки, че плетенето остава аепериодично.
• Метод на рязане и проекция: Този подход конструира Пенроузни плетения, проектирайки периодична решетка от по-високо измерение (обикновено петизмерна) върху двумерна равнина. Получената проекция произвежда непериодично плетене с същите локални правила като оригиналното Пенроузно плетене. Този метод е особено важен в изследването на квази-кристалите, тъй като предоставя директна връзка между Пенроузните плетения и атомната структура на определени материали.

Пенроузните плетения са били обстойно изследвани в математиката и физиката, особено в контекста на аепериодическия ред и квази-кристалите. Американското математическо общество и Институтът по математика и приложения циркулират сред организациите, които публикуват изследвания и образователни ресурси за математическите свойства и техники по строеж на Пенроузните плетения. Тези плетения продължават да вдъхновяват изследвания в геометрията, материалознанието и изкуствата заради уникалната си комбинация от ред и неповторимост.

Симетрия, квази периодичност и локален изоморфизъм

Пенроузното плетене е впечатляващ пример за това как математическите концепции могат да предизвикат и разширят разбирането ни за симетрия и ред. За разлика от традиционните периодични плетения, като тези, които се намират в редовни тесселации на квадратчета или шестоъгълници, Пенроузните плетения са квази периодични. Това означава, че запълват равнината без да повтарят шаблони на редовни интервали, но въпреки това показват форма на ред, която не е нито случайна, нито строго периодична. Откритие на Пенроузното плетене от математика сър Роджър Пенроуз през 70-те години въведе нова парадигма в изучаването на плетене и симетрия, с дълбоки последствия за математиката, физиката и материалознанието.

Ключова характеристика на Пенроузното плетене е неговата петократна ротационна симетрия, която е забранена в периодичните кристали според класическата кристалография. В Пенроузните плетения тази симетрия се проявява глобално, дори когато нищо ограничено от плетенето не се повтаря периодично. Плочките — обикновено златни рибки и стрели или ромбове — са подредени според специфични правила за съвпадение, които налагат тази неповтаряща се, но високо подредена структура. Тези правила гарантират, че плетенето е непериодично, но също така, че всяка ограничена област в плетенето може да се намери безброй много пъти другаде в шаблона, макар и в различни ориентации или позиции.

Тази собственост води до концепцията за локален изоморфизъм. В контекста на Пенроузното плетене локалният изоморфизъм означава, че за всяка ограничена област от плочки съществува друга област на място в плетенето, която е конгруентна на нея. Така че, макар общият шаблон никога да не се повтаря, локалните конфигурации се повтарят през цялото плетене. Това е определяща характеристика на квази периодичните структури и я отличава от периодичните и случайни плетения.

Математическото изследване на Пенроузните плетения е повлияло на разбирането на квази-кристалите — материали, които показват дифракционни шаблони с остри върхове и симетрии, забранени в периодичните кристали, като петократна симетрия. Откритията на квази-кристалите през 80-те години, което занесе Дан Шехтман Нобеловата награда по химия, предостави физически доказателства за съществуването на квази периодичен ред в природата, валидирайки математическите прозрения, предоставени от Пенроузните плетения (Международен съюз по кристалография). Днес Пенроузните плетения продължават да вдъхновяват изследвания в математиката, физиката и материалознанието, предлагайки мост между абстрактната математическа теория и явленията в реалния свят.

Пенроузно плетене в кристалографията и физиката

Пенроузното плетене, непериодично плетене, открито от математика Роджър Пенроуз през 70-те години, оказа дълбоко влияние върху полетата на кристалографията и физиката. За разлика от традиционните периодични плетения, Пенроузните плетения използват набор от форми — най-известно, два типа ромбове — които могат да покрият равнина без да повтарят шаблони. Тази аепериодичност оспори дълго променяното предположение, че всички кристали трябва да покажат транслационна симетрия, вярване, което доминираше в кристалографията в продължение на десетилетия.

Значението на Пенроузното плетене в кристалографията стана особено очевидно с откритията на квази-кристалите през 1982 г. от Дан Шехтман. Квази-кристалите са твърди материали, чиято атомна подредба показва дългосрочен ред, но липсва периодичност, отразявайки математическите свойства на Пенроузните плетения. Дифракционните шаблони на квази-кристалите, които показват остри Браггови върхове със симетрии, забранени в периодичните кристали (като петократна симетрия), предоставиха експериментални доказателства, че природата може да реализира структури, аналогични на Пенроузните плетения на атомно ниво. Това откритие доведе до парадигмено изменение в определението на кристали, мотивирайки Международния съюз по кристалография да преразгледа определението си, за да включи аепериодични кристали.

Във физиката, Пенроузните плетения станаха моделна система за изучаване на аепериодичния ред и неговите последици. Уникалното разположение на плочките в Пенроузното плетене води до необичайни физически свойства, като електронни състояния, които не са нито напълно локализирани, нито напълно разширени, и нови фононни спектри. Тези свойства бяха изследвани както в теоретични модели, така и в експериментални системи, включително фотонни квази-кристали и изкуствени решетки. Изучаването на разпространението на вълни, електронния транспорт и магнетизма в материали с Пенроузна структура разкри нови явления, които не присъстват в периодичните системи, предлагайки прозрения в основната природа на реда и безредиците в кондензираната материя.

• Американското физическо общество публикува многобройни проучвания на физическите свойства на квази-кристалите и Пенроузните плетения, подчертавайки тяхната значимост в съвременната физика.
• Международният съюз по кристалография продължава да подкрепя изследвания в аепериодичния ред, включително математическите основи и материализациите на Пенроузните плетения.

Като цяло, Пенроузното плетене служи като мост между математиката, кристалографията и физиката, предоставяйки рамка за разбиране на аепериодичния ред и вдъхновявайки открития на нови материали с уникални структурни и физически свойства.

Приложения в изкуството, архитектурата и дизайна

Пенроузното плетене, непериодичен плетеж, открит от математика и физик сър Роджър Пенроуз през 70-те години, оказа дълбоко влияние върху изкуството, архитектурата и дизайна. Уникалните му математически свойства — най-вече аепериодичността и петократната симетрия — вдъхновиха творците да изследват нови визуални езици и структурни възможности.

В областта на изкуството Пенроузното плетене бе прието заради естетичната си сложност и визуален интерес. Художници като М. К. Ешер, макар и преди формалното откритие на Пенроуз, изследваха подобни квази-периодични шаблони, а съвременни художници вече включват Пенроузни плочки в картини, мозайки и цифрово изкуство. Взаимодействието между реда и очевидния случайност в Пенроузното плетене предлага привлекателна метафора за пресечната точка между хаоса и структурата, което го прави популярен мотив в съвременно и абстрактно изкуство. Тейт, водещо художествено учреждение, е показало произведения, вдъхновени от математическите плетения, подчертавайки тяхното културно и художествено значение.

В архитектурата Пенроузното плетене е използвано, както заради визуалната си привлекателност, така и за структурните си свойства. Неповтарящата се природа на шаблона позволява създаването на повърхности и фасади, които са едновременно динамични и хармонични, избягвайки монотонността на редовното повторение. Особено забележително е, че Университетът на Оксфорд, в който сър Роджър Пенроуз е емеритус професор, има Пенроузно плетене на входа на сграда „Андрю Уайлс“, дом на Математическия институт. Тази инсталация не само че празнува математическата красота, но и демонстрира практическото приложение на сложни геометрични принципи в обществени пространства. Използването на Пенроузно плетене в архитектурата често служи като мост между математическата теория и осезаемия дизайн, вдъхновявайки архитектите да експериментират с нетрадиционни форми и оформления.

В дизайна Пенроузното плетене е намерило приложение в области, вариращи от графичен дизайн до разработване на продукти. Неговите отличителни шаблони се използват в текстил, тапети и настилки, предлагайки уникална алтернатива на традиционните периодични дизайни. Математическата строгост, лежаща в основата на Пенроузното плетене, осигурява, че тези шаблони са едновременно визуално стимулиране и интелектуално ангажиране. Дизайнерите се привлекат от предизвикателството да работят с система, която противоречи на просто повторение, в резултат на което продуктите се открояват с оригиналността и изтънчеността си. Организации, като Кралското общество по химия, са подчертавали връзката между Пенроузното плетене и откритията на квази-кристалите, допълнително утвърдвайки неговата значимост както в научните, така и в креативните области.

Като цяло, Пенроузното плетене илюстрира плодовития диалог между математиката и визуалните изкуства, предлагайки безкрайни възможности за иновации в изкуството, архитектурата и дизайна.

Компютърни подходи и визуализация

Компютърните подходи играят основна роля в изследването и визуализацията на Пенроузните плетения, които са аепериодични плетения, открити от математика Роджър Пенроуз през 70-те години. Тези плетения, характеризирани със своите неповтарящи шаблони и локална петократна симетрия, представят уникални предизвикателства и възможности за анализ и графично представяне, базирани на компютри.

Един от основните компютърни методи за генериране на Пенроузни плетения е използването на правила за субституция, при които по-големи плочки се рекурсивно разделят на по-малки в съответствие с конкретни геометрични правила. Този рекурсивен процес е добре приспособен за алгоритмично изпълнение, позволявайки създаването на произволно големи и детайлни плетени шаблони. Друг подход включва метода на проекция, при който периодична решетка с по-високо измерение (обикновено петизмерна) се проектира в двумерна равнина, произвеждайки аепериодичния Пенроузен шаблон. Този метод използва линейна алгебра и компютърна геометрия и е важен в свързването на Пенроузните плетения с изследването на квази-кристалите в материалознанието.

Визуализацията на Пенроузните плетения значително се е подобрила благодарение на напредъка в компютърната графика. Съвременните софтуерни инструменти могат да проектират сложни плетени шаблони с висока прецизност, позволявайки на изследователите и художниците да изследват математическите им свойства и естетични качества. Интерактивни платформи за визуализация позволяват на потребителите да манипулират параметри, да увеличават определени области от интерес и да наблюдават появата на локални симетрии и правила за съвпадение. Тези инструменти са ценни не само за математическите изследвания, но и за образователни цели, помагайки да се предаде сложността и красотата на аепериодичния ред.

Компютърното изследване на Пенроузните плетения допринася и за разбирането на физическите им аналози, като квази-кристалите. Откритията на квази-кристалите, които показват дифракционни шаблони, аналогични на тези, предсказани от Пенроузните плетения, бяха признати с Нобеловата награда по химия през 2011 г. Компютърните модели на Пенроузните плетения са използвани за симулиране на атомните подредби в тези материали, предоставяйки прозрения за техните уникални свойства и стабилност (Нобелова награда).

Институции, като Американското математическо общество и Институтът по математика и приложенията, са подкрепяли изследвания и разпространение на компютърни техники, свързани с Пенроузните плетения. Техните ресурси включват академични публикации, софтуер за визуализация и образователни материали, които улесняват последващи изследвания на това завладяващо пресечение между математика, компютеризация и изкуство.

Отворени въпроси и бъдещи насоки

Пенроузното плетене, открито от математика и физик сър Роджър Пенроуз през 70-те години, остава живо поле за математически и физически изследвания. Въпреки десетилетия на изучаване, няколко отворени въпроси и обещаващи бъдещи насоки продължават да движат запитванията около свойствата и приложенията на тези аепериодични плетения.

Един от основните отворени въпроси касае пълната класификация на аепериодичните комплекти плочки. Докато Пенроузните плетения са най-известният пример, математиката все още изследва дали съществуват други основно различни набори от плочки, които наложат непериодичност в равнината и какви минимални условия са необходими за един набор да бъде аепериодичен. Този въпрос е в тясна връзка с по-широката математическа област на теорията на плетенията и символната динамика, която изследва как локалните правила могат да наложат глобален ред или безредие.

Друга активна област на изследване е физическото реализиране на Пенроузните плетения в материалознанието. Откритията на квази-кристалите през 80-те години, които показват атомни подредби, аналогични на Пенроузните плетения, будят интереса за разбирането как такива структури могат да възникнат естествено и какви уникални свойства предлагат. Отворените въпроси остават относно стабилността, механизмите на растеж и потенциалните технологични приложения на квази-кристалните материали, особено в области като фотоника и нано технологии. Организации, като Американското физическо общество и Международния съюз по кристалография, подкрепят текущите изследвания в тези материали и техните математически основи.

От компютърна гледна точка, алгоритмичното генериране и разпознаване на Пенроузните плетения представлява допълнителни предизвикателства. Ефективните алгоритми за генериране на големи, неповтарящи се Пенроузни плетения, както и за откритие на такива шаблони в експериментални данни, все още се усъвършенстват. Тези компютърни въпроси имат последици за теоретичната математика и практическите приложения, като дизайна на нови материали и анализа на сложни шаблони в природата.

Накрая, естетическите и философските импликации на Пенроузните плетения продължават да вдъхновяват изследвания. Взаимодействието между локалните правила и глобалната непериодичност поставя основни въпроси относно естеството на реда, симетрията и сложността. Като изследванията напредват, междудисциплинарните сътрудничества между математици, физици, материални учени и художници е вероятно да доведат до нови прозрения и приложения, осигурявайки, че Пенроузното плетене остава богато и развиващо се поле на изучаване.

Източници и референции

• Международен съюз по кристалография
• Американско математическо общество
• Университет на Оксфорд
• Институт по математика и приложения
• Тейт
• Университет на Оксфорд
• Кралско общество по химия
• Нобелова награда